Do \(C\in\Delta\) nên tọa độ có dạng: \(C\left(1+t;2+t\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(t+2;t\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(t-2;t+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(AC=BC\Rightarrow AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\left(t+2\right)^2+t^2=\left(t-2\right)^2+\left(t+1\right)^2\)

\(\Rightarrow6t=1\Rightarrow t=\dfrac{1}{6}\)

\(\Rightarrow C\left(\dfrac{7}{6};\dfrac{13}{6}\right)\)

Mik đang bận nên chỉ có HD thôi ạ :

-Viết p/t đ/t d ; biểu diễn tọa độ P theo d

- Tính MN ; NP ; MP

- ADCT :  \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)  ( p = a + b + c / 2 ) 

GPT tìm tọa độ P 

\(\overrightarrow{NM}=\left(3;3\right)\Rightarrow MN=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\) và đường thẳng MN nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình MN: 

\(1\left(x-2\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)

Do P thuộc (d) nên tọa độ có dạng: \(\left(-8+2t;t\right)\)

\(\Rightarrow d\left(P;MN\right)=\dfrac{\left|-8+2t-t\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|t-8\right|}{\sqrt{2}}\)

\(S_{MNP}=\dfrac{1}{2}.d\left(P;MN\right).MN=18\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left|t-8\right|}{\sqrt{2}}.3\sqrt{2}=18\)

\(\Rightarrow\left|t-8\right|=12\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=20\\t=-4\end{matrix}\right.\) (loại \(t=20\) do P có tung độ âm)

\(\Rightarrow P\left(-16;-4\right)\Rightarrow2a-13b=20\)

1: (d): x=-2-2t và y=1+2t nên (d) có VTCP là (-2;2)=(-1;1) và đi qua B(-2;1)

=>(d') có VTPT là (-1;1)

Phương trình (d') là;

-1(x-3)+1(y-1)=0

=>-x+3+y-1=0

=>-x+y+2=0

2: (d) có VTCP là (-1;1)

=>VTPT là (1;1)

Phương trình (d) là:

1(x+2)+1(y-1)=0

=>x+y+1=0

Tọa độ H là;

x+y+1=0 và -x+y+2=0

=>x=1/2 và y=-3/2

Chọn D

Giao điểm d và (P) thỏa mãn:

\(4\left(1+2t\right)-\left(-2-t\right)-\left(1-t\right)+5=0\)

\(\Rightarrow t=-1\)

Thay vào pt (d) \(\Rightarrow M\left(-1;-1;2\right)\)

Bài 1 :

a, - Gọi phương trình đường thẳng AB là \(y=ax+b\)

- Thay \(x=1,y=2\) vào phương trình trên ta được :

\(a+b=2\) ( I )

- Thay \(x=3,y=4\) vào phương trình trên ta được :

\(3a+b=4\left(II\right)\)

- Từ ( I ) và ( II ) ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\3a+b=4\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\3\left(2-b\right)+b=4\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\6-3b+b=4\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\-2b=-2\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=2-1=1\\b=1\end{matrix}\right.\)

- Thay \(a=1,b=1\) vào phương trình ( I ) ta được :

\(y=x+1\)

b, - Gỉa sử tọa độ của điểm M là \(\left(x_1;y_1\right)\)

Mà điểm M nằm trên trục tung nên hoành độ của nó bằng 0 .

=> Tọa độ của điểm M là : \(\left(0;y_1\right)\)

Ta có : \(\overrightarrow{AB}\left(1;1\right)\) và \(\overrightarrow{AM}\left(0-1;y_1-2\right)\)

- Để 3 điểm A; B; M thẳng hàng thì \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương với \(\overrightarrow{AM}\)

=> \(\frac{1}{-1}=\frac{1}{y_1-2}\)

=> \(y_1-2=-1\)

=> \(y_1=1\)

Vậy tọa độ của điểm M \(\left(0;1\right)\)

- Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì :

\(\frac{1}{m}\ne\frac{-1}{-1}\ne1\left(m\ne0\right)\)

=> \(m\ne1\)

- Ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=2\\mx-y=3\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+y\\m\left(2+y\right)-y=3\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+y\\2m+my-y=3\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+\frac{3-2m}{m-1}=\frac{2\left(m-1\right)+\left(3-2m\right)}{m-1}=\frac{2m-2+3-2m}{m-1}=\frac{1}{m-1}\\y=\frac{3-2m}{m-1}\end{matrix}\right.\)

- Để hệ phương trình thuộc góc phần tư thứ nhất thì :

\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\end{matrix}\right.\) ( I )

- Thay \(x=\frac{1}{m-1};y=\frac{3-2m}{m-1}\) vào ( I ) ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{m-1}>0\\\frac{3-2m}{m-1}>0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\3-2m>0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\3-2m>0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m< \frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

=> \(1< m< \frac{3}{2}\)

Vậy để hệ phương trình trên thuộc góc phần tư số 1 thì \(1< m< \frac{3}{2}\)

Giao điểm của (d) và (C) thỏa mãn:

\(\left(2+t\right)^2+\left(-1+3t\right)^2-2\left(2+t\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow10t^2-4t=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy (d) và (C) cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là: \(\left[{}\begin{matrix}\left(2;-1\right)\\\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{1}{5}\right)\end{matrix}\right.\)